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緑蕪堂日記

現状を追認しない

Katzのrigidityはオイラー標数 そして幾何学的ラングランズ対応へ

数学

自分の所属している研究室では「カッツ」と言うとまずKac-Moody代数のVictor Kacを思い浮かべる人しかいないのだが、数論で有名なNicolas Katzも微分方程式論に重大な進歩をもたらした。Katzのrigidityの理論は久々に数学をやっていて深い感銘を受けた理論なのでここに紹介してみたい。

詳しい歴史的な経緯については原岡先生の超幾何学校2014の講義録

http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/taka/2015/hgs-note/04-rigid-sjis.pdf

を参照されたい。

かいつまんで話すと、ガウスの超幾何微分方程式に代表されるように、特異点が全て確定型であるFuchs微分方程式に対して、局所的なモノドロミーから一意に大域的なモノドロミーが決まってしまう物を昔からrigidと呼んでいた。局所的なモノドロミーの理論は19世紀に終わっている話だが、大域的なモノドロミーは本質的に解析接続の問題なので一般には難しく、現在でも大域的なモノドロミーを求める一般的な計算法は未だ知られていない。

Rigidであるということはどういうことかというと、各特異点のモノドロミー行列の共役類の組を与えたとき、この組を共役による作用で割ったモジュライ空間が1点になるということである。

Fuchs型の方程式に限ってもrigidか否かという大まかな分類しかなされてなかったが*1、Katzによる1996年の«Rigid Local Systems»*2において定義されたrigidityにより、方程式の「むずかしさ」を数値的に求めることが出来るようになった。\mathbb P^1から有限集合Sを抜いた開集合をj\colon U\rightarrow \mathbb P^1とおく。 \mathcal FU上の局所系とすると、\mathcal Fのrigidityをオイラー標数

\chi (\mathcal F)=\sum_{i=0}^{2}H^i(\mathbb P^1 , j_*\mathcal E \textit{nd}(\mathcal F))

により定義する。j_\ast \mathcal E \textit{nd}(\mathcal F) はモノドロミーの層というべきものであり、U, Sコホモロジーを分けて表現論的な考察をすることによりrigidityは具体的に計算出来て、\mathcal Fに対応する基本群の表現行列を\{A_i\}_{i\in S}とすると\chi (\mathcal F)=2-\sum_{i\in S}\dim Z(A_i)と具体的に計算できる。

この結果を微分方程式ときちんと対応させるには非共鳴的であるとかの条件が必要だが、大まかにはこんな感じである。オイラー標数といういかにも不変量然とした量がかなり具体的に計算できるのはとても強い。

 

局所系が既約である場合に、このrigidityが2に等しいこと(cohomologically rigid)と大域的な局所系が一意に定まること(physically rigid)が同値であるというのがKatz(-大島)理論の基礎となる定理である。この後addittionやmiddle convolutionという操作によりrigidityを保ったまま階数を一つ減らすことが出来、階数1という簡単な場合に帰着させることが出来るというのが理論の大筋である。

 

 

そしてNHKの白熱教室でお茶の間にも有名になったEdward Frenkelさん(とGross氏)が「ふたりのカッツ」*3アトリビュートした論文を書いている。

[0901.2163] A rigid irregular connection on the projective line

これはKatzの仕事の不確定特異点の場合への拡張で、幾何学的ラングランズ予想で重要なoperをある程度システマティックに構成できるというものである。

KatzとSGA7.II«Groupes de Monodromie en Géométrie Algébrique»の共著者であるDeligneは«Singularités irrégulière: correspondance et documents»*4において「70年代ごろ、不確定特異点をもつベクトル束の接続について«病的»に考えていた。」と述べている。70年代のDeligneの仕事といえば混合Hodge理論やWeil予想の解決が有名だが、こうした仕事の裏では平坦接続の不確定特異点\ell進層の暴分岐との類似が考えられていた。Deligneは70年に«Equations Différentielles à Points Singuliers Réguliers»において後の一般的なholonomic D加群に対するRiemann-Hilbert対応のプロトタイプとなった代数多様体上の平坦接続に対するR-H対応を打ち立てた。ある意味片手間で微分方程式論の大きな理論的基礎を与えている辺りDeligneの鬼さ加減が垣間見える。こうした問題意識が(幾何学的)ラングランズ予想という(自分ではふわっとした理解すら出来ていない)巨大プロジェクトに収斂していくのは趣深い。

*1:Rigidでなくとも特別な事情によって大域的なモノドロミーがわかるものが大久保氏などの功績により散在的には知られてはおり、その後の微分方程式サイドでの理論の進展の礎となっている。

*2:https://web.math.princeton.edu/~nmk/wholebookRLScorr.pdf

*3:ふたりは同い年で同じ12月の生まれらしい。

*4:Malgrangeを始めとする微分方程式の研究者との書簡集

Gentooでぴゅあ64bitデスクトップ環境

Gentoo GNU/Linux

gentoo.hatenablog.com

リンク先を読んでもらえれば全て終わりなのだが、それではつまらないので補足しよう。

GentooではGCCから何まで基本的に全て自前でコンパイルするので、32bit用のライブラリをビルドする必要があるパッケージはコンパイルに約2倍の時間がかかる上に容量も取る。一方ナウでヤングなソフトウェアでは32bitでしか動かないパッケージは(ほぼ)存在しない*1のでほとんど32bit用のソフトをコンパイルするリソースは無駄になってしまう。こうした事情からGentooではインストール時点でno-multilibを選べる上に、パッケージのフラグなどの諸々の設定を前もってよしなに設定してくれているprofileでno-multilib用の設定が提供されている。一方、デスクトップ環境用にもprofileが用意されているのでデスクトップ環境を作る時にはそちらを選ぶ必要がある。profileは(eselectで)一つしか選べないと思っていたので、今までは--excludeオプションでgccglibc、sandboxを更新しないようにしたり、逆にこうしたパッケージを更新したい時は一々profileを切り替えるという手がかかる方法を取っていた。実はこうしたことをしなくても良いようにプロファイルをミックスすることが可能、というのがリンク先の記事で書かれている。

自分の環境ではsystemd+gnomeとno-multilibを使いたいので、/etc/portage/make.profileを一端unlinkし、/etc/portage/make.profile/parentに

 

/usr/portage/profiles/default/linux/amd64/13.0/desktop/gnome/systemd

/usr/portage/profiles/default/linux/amd64/13.0/no-multilib

 

などと書けば良い*2。やったね!

 

*1:Steamあたりは悔い改めて欲しい。Skypeも以前はダメだったがskypeforlinuxの登場で64bitオンリーでも使えるようになっている。

*2:parentファイルを見れば実はsystemd+gnome用のprofileもそのようにして設定されているということが分かる

ジジェクおじさんアメリカ大統領選を語る

アメリカ大統領選が目前に近づいているが、個人的にはテレビを余り見なかったせいか、それとも両候補の泥仕合にうんざりしたのか全く大統領選と言われてもピンと来ない。これには前回オバマ大統領が選出された時があまりにドラマチックだったこともあるだろう。

大統領選の記事の関連記事欄に「クルーズ氏、ヒラリー氏が優勢か」という一年前の見出しを見て一瞬クルーズって誰だっけ・・・となったあたり隔世の感がある。それほど”予想外”だったトランプ氏の台頭だが、彼を単なる粗野で下品な成金と見なすことは最早できないだろう。彼をここまで押し上げてきたアメリカのムードは21世紀が孕む問題を早くも析出させたものだからだ。そんな事情を我らが革命大好きジジェクおじさんが熱く語っている動画がなかなか面白かったので意訳混じりに訳してみた。

——あなたがアメリカ人だったら誰に投票しますか?
——トランプ。私は彼に懸念を抱いているが、ヒラリーこそ真に危険だと考えている。なぜか?彼女はとても我慢ならない、全てを包括する連合を作りあげたからです。たとえば私がトランプに完全に同意したのは、あのバーニー・サンダースがヒラリーを支持を表明した時の彼の発言*1だ。彼はそれを欺瞞であると言い、オキュパイ・ウォールストリートの参加者がリーマン・ブラザーズを支持するようなものだと言ったのです。

(中略)どの社会においても如何に政治を動かし、コンセンサスを確立していくかという不文律のネットワークの総体が存在します。トランプはこれを撹乱しました。そしてもしトランプが勝てば、共和党と民主党の二大政党が共に基本に立ち返り、自省しなければならず、多分何かが起きるのではないのでしょうか。
これは私のトランプが勝利した時のやけっぱちな、どうしようもないほど絶望的な希望だとして聞いてほしいのですが、アメリカが最早独裁的な国でなくなり、彼がファシズムを持ち込むことはない。これこそ大きな覚醒といったものになりうるのです。新しい政治のプロセスが生まれはじめ、引き起されるのではないだろうか、と。
(中略)だが事態は今、非常に危険であるというのは良くわかっています。白人至上主義者たちだけでなく、トランプ自身が口にして憚らない上に、そうした見立てがあるので彼はおそらくやってしまうだろうが、アメリカで最高裁がどれほど重要かご存知でしょうけど、彼はそれに右翼的人物を指名すると言っているのです。そうした危険があるのですが、ヒラリーがこの独裁的な流れに乗ってしまうことを私が最も恐れているのです。なぜなら彼女は冷戦支持者であり、銀行と癒着し、社会進歩主義者のふりをしているから。(終わり)

 

ジジェクは自由と正義の名の下に散々えげつないことをやってきたアメリカという国と、外面の良いクリーンなイメージのヒラリー氏の間に相似、あるいは一体化を見て取っているのだろう。そしてトランプが作り出した強大なリーダーシップを求める流れを隠れタカ派であるヒラリー氏が利用する事態を最も懸念している。まあいかにもジジェクおじさんが言いそうなことである。

日本においても、誰が頼んだわけでもない、降って湧いて来たTPPが”賛成多数”で速やかに可決された一方で、以前より問題になっている少子化対策や労働問題は遅々として進んでいない。このような話は裏では外交であるとかロビイングであるとか表に出てきにくい政治力学で物事が進んでいるわけである。日本では論外という風潮があるトランプだが、こうした不文律をぶち壊してくれるのではないかという淡い期待は十分理解できるものではないだろうか。

*1:Bernie Sanders endorsing Crooked Hillary Clinton is like Occupy Wall Street endorsing Goldman Sachs.

ThinkPad E560導入記

Gentoo GNU/Linux

先日レッツノートヒートシンクが浮いていることが判明しブチ切れた勢いでポチったE560が昨日届き、そこそこ使えるようになったのでその過程を書き残す事にする。

 

おおまかなスペックはi5-6200U、メモリ8G1スロット、FHD液晶、500GBのHDDといったところ。E570発売に伴うクリアランス価格で中々安く手に入ったのではないかと思う(財布には痛い)。ガバガバ納期に定評のあるLenovoだが、自分の場合は順当に9日で届いた(注文時には最短で11月20日とあったのでやはりガバガバである)。

 

先に雑感を羅列しておくと、emerge(コンパイル)をぶん回しても55℃程度で安定しているのには感動した。携行するつもりで買ったのだが想像以上に大きかった(アホ)が15.6インチのFHDだけあって画面を見る分にはまあ快適である。Tweetdeckのロード画面のグラデーションが段々になってるあたり色域は狭そう(これがMacなんかだと綺麗に出る)。レッツノートのi7-3540Mに比べて若干シングルコア性能が落ちているが起動時間は14秒ほどで殆ど気にならない。電池が軽くその分稼働時間が短そうであるが相当省電力化が進んでいるので然程問題無さそう。ThinkPad名物の赤ポチはコントロールが難しいがキーボードからポジションを崩さずにカーソルを動かせるのは中々良さそう。WindowsではDolbyが入ってるだけあってスピーカーが結構それっぽい音が出る(これはレッツノートのが酷すぎるというのはある)。

 

Windowsには興味がないので当然Gentooの入っているSSDを移植するわけなのだが、無駄にUEFIでインストールしてしまっていたため、Linuxのbootable usbからchroot*1して

grub-install --efi-directory=/boot/efi

を走らせる必要があった。

また、wifiのドライバ(iwlwifi-7265)を取ってきてコピーする必要があった。

SDカードリーダーで割とハマってしまったのだが、結論だけを書けばカーネルのconfigで

CONFIG_MFD_RTSX_PCI=m

CONFIG_MMC_REALTEK_PCI=m

CONFIG_MEMSTICK_REALTEK_PCI=m

とかやれば動くようになった。lspciを叩くとか基本的なことができていればもう少し手間が掛からなかったと思う。

その他のバックライトやオーディオ、ファンクションキー周りなどGentooを初めて導入した時ハマった所は聞き分けよくそのまま動いてくれた。このあたりはカーネルのconfigにTHINKPADなんとかという変数がいくつかあるだけのことはある。

少なくとも向こう3年は頑張って欲しいが果たして。

*1:ファイルにコマンドを書きつけてコピペすると一発でchrootできて爽快

レッツノートを分解したら愕然とした話

4年目に突入したCF-SX2なのだが、ちょっとしたブラウジングでCPUの温度が90度を越えるようになってしまい、基板やら中のSSDに危険を感じるようになった。保証も切れてしまったのでダメモトで分解してグリスの塗替えを試みることにした。手順は分解工房さんのページ通りで問題なく、苦労しながらもヒートシンクまでたどり着いて愕然とした。出来る限り薄く塗られるべきとされるグリスが1.5ミリほどの厚みで山盛りになっていたのである(GPUの方のグリスは順当な厚さであったのであろう、カピカピになっていた)。当初は工員の不手際を疑ったのだが、よくよく見てみるとヒートシンクそのものがCPUから浮いているではないか。十円玉がすっぽり収まりそうである。これではいくら熱伝導性のよいグリスを使っても効果は薄い。一応アイドル時では常に60度を超えていたのが50度ほどに落ち着きはしたのだが、やはり負荷がかかると以前と事情はさほど変わらない結果となった。

こういう意味不明な設計で国産の安心を売りにしているのだから言葉も出ない。豪華客船の建造において設計を施工を並行してやったなどというお粗末な話が記憶に新しいが、だんだん日本のメーカーもマトモなモノづくりが出来なくなってきてるのかもしれない。

Carpenter BrutのPV

音楽 映画

【激しくNSFWなので注意】

Hotline Miamiシリーズのサウンドトラックに数多くの楽曲を提供している事で有名なフランスのエレクトロニカバンド、Carpenter BrutのPVは中々キレている。

既に作られた映画を編集しているのだがハマり具合が半端ではなく、よく見つけてくるなと感心した。備忘録としてネットの情報から分かる範囲で素材になった映画を挙げてみることにする。

youtu.be

Hotline Miami2では刑務所のステージで使用されている。初プレイの時は吐きそうなぐらいの恐怖を感じたのでこの曲はとても印象に残っている。 このPVはLucio Fulci監督の«Murderock»という作品。監督はイタリア出身のスプラッター映画の大家だそうだ。 ちなみにEL&PのKeith Emersonがこの映画のサントラを作っているらしく、これもまた気になる(たった今知った)。

vimeo.com

これは最後にVIDEO TRIBUTE TO 石井隆とあるように石井隆監督の『天使のはらわた』(シリーズのうちどれか)、『GONIN』から採られているようだ(もしかしたら他にもあるかも知れない)。後者は本木雅弘竹中直人ビートたけしなどよく知った顔が無茶苦茶やってていて楽しそうである。(レズ)セックスシーンはおそらく日活ロマンポルノ*1の残滓たる『天使のはらわた』からだと思われる。

時間が出来たら是非見ておきたい。

*1:平成生まれとしては昭和まではこんなもの作ってたのかと驚いた。

伝説の佐藤幹夫講義録が待望の公開(全米が泣いた)

数学

去る7月13日にひっそりと数理解析レクチャー・ノートシリーズがKURENAIレポジトリにて公開されていた。

Kyoto University Research Information Repository: 数理解析レクチャー・ノート

3巻目がすでに京大の出版会から出ている広中先生の講義を森先生が記した有名な講義録で他にもハーツホーンや倉西先生の講義録などもあるが、やはり目玉は佐藤幹夫講義録であろう。明倫館で35kもする上に蔵書する大学が20もない貴重書であり、ソリトン解を得られる謎テクノロジーであった広田の方法の背後に無限次元グラスマン多様体が介在する事を看破した佐藤幹夫自身による講義がまとめられているすごい本なのだ。世間であまり話題に登っていないようなので早速紹介しておく。